Fracciones Continuas

FRACCIONES
CONTINUAS

“Las fracciones continuas son objetivamente lo mejor en tecnología de aproximación” (Evelyn Lamb)

“La mejor aproximación a los números irracionales” (A. Khinchin)

“Representaciones matemáticas más naturales que las decimales” (Wikipedia)

Concepto

Las fracciones continuas son una forma de especificación recursiva de los números reales que permiten poner de manifiesto su estructura y propiedades aritméticas internas, constituyendo una alternativa a la utilización de decimales. Por ejemplo, el número racional

190476

se puede descomponer de la manera siguiente:

Por consiguiente,

179/42 = 4 + 1/(3 + 1/(1 + 1/(4 + 1/2))) En este ejemplo se puede observar que una fracción continua se puede representar mediante una secuencia de números (que se llaman cocientes parciales, incompletos o enteros). En el ejemplo, la secuencia es (4, 3, 1, 4, 2).

Si la fracción fuera menor que 1, entonces el primer cociente sería 0. Por ejemplo, la fracción 42/179 se representaría mediante la secuencia (0, 4, 3, 1, 4, 2) y la fracción continua es:

42/179=1/(4 + 1/(3 + 1/(1 + 1/(4 + 1/2)))) Se denominan “fracciones continuas parciales” los valores sucesivos de la fracción continua que los aproximan hacia su valor final. En el caso de nuestro ejemplo son:

v1 = c1 = 4
v2 = c1 + 1/c2 = 4 + 1/3 = 13/3 = 3.25
v3 = c1 + 1/(c2 + 1/c3) = 4 + 1/(3 + 1/1) = 17/4 = 4.25
v4 = c1 + 1/(c2 + 1/(c3 + 1/c4)) = 4 + 1/(3 + 1/(1 + 1/4)) = 81/19 = 4.2663157894736842105
v5 = c1 + 1/(c2 + 1/(c3 + 1/(c4 + 1/c5))) = 4 + 1/(3 + 1/(1 + 1/(4 + 1/2))) = 179/42 = 4.26190476

Estructura de los cocientes parciales de una fracción continua

Todo número racional se puede descomponer en una fracción continua finita, es decir, que el proceso de obtención de los cocientes acaba tras un número finito de pasos. Esto se demuestra fácilmente por el algoritmo de Euclides de obtención del máximo común divisor de dos números.

Todo número irracional se descompone en infinitas fracciones continuas.

Si la fracción continua correspondiente a un número irracional r es periódica, entonces r es la solución de una ecuación de segundo grado.

Por ejemplo, para √2 los cocientes son: (1, 2, 2, ...) eq. (1 2☆)

Esto se puede demostrar haciendo √2 = 1 + x. Elevando al cuadrado, se obtiene

y por lo tanto,

√2 = 1 + 1/(1 + √2) De esta última expresión se deduce que la fracción continua es infinita:

√2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ...)))) Y las fracciones continuas parciales son:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 29/70, 239/169,... Análogamente, se tiene:

Cocientes de √3: (1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...) eq. (1 (1 2)↓☆)
Cocientes de √5: (2, 4, 4, 4, 4, 4, ...) eq. (2 4☆)
Cocientes de √6: (2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, ...) eq. (2 (2 4)↓☆)
Cocientes de e: (2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...) eq. (2 1 (1 1)↓&dasv;(2*[1...]))

Las fracciones continuas parciales son: 2, 5/2, 8/3, 11/4, 19/7, 79/28,...
Cocientes de π: (3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, ...)

Siguen un patrón aparentemente aleatorio. Las fracciones continuas parciales son:

3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104384/33215, 208341/66317, 312689/99532, ...
Cocientes de Φ (proporción aúrea): (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) eq. ( 1☆ )

Φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))))

Esta es la fracción continua más simple.

Las fracciones continuas parciales, en donde aparecen los números de la secuencia de Fibonacci (1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), son:

1, 2 , 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ...

Fracciones continuas generalizadas

Una fracción continua generalizada es la que los numeradores de las fracciones y los cocientes parciales pueden ser valores cualesquiera, reales o complejos. Tiene la forma

₁

₂

₃

En este caso, la representación podía ser una secuencia de subsecuencias (a_i, b_i). Por ejemplo:

√3 = 1 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + ...))))
Representación: ((1, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 2), ...)
π = 3 + 1²/(6 + 3²/(6 + 5²/(6 + 7²/(6 +...))))
Representación: ((3, 12), (6, 32), (6, 52), (6, 72),...)

Cuando los numeradores b_i son todos 1 y los a_i son números naturales, tenemos fracciones continuas simples. La fracción continua más simple es la proporción áurea.

Raíces cuadradas como fracciones continuas

La raíz cuadrada de un número r, √r, se puede expresar:

De aquí se deduce que √r se puede expresar como fracción continua de muchas maneras, dependiendo del valor de a. Por ejemplo:

r	a	√r
2	1	√2 = 1 + 1/(1 + √2)
2	2	√2 = 2 + (−2)/(2 + √2)
2	3	√2 = 3 + (−7)/(3 + √2)
2	4	√2 = 4 + (−14)/(4 + √2)

Para que la fracción continua sea simple, debe cumplirse que (r − a²) = 1. Para r = 2, a debe ser 1. Para r = 5, a debe ser 2. Etc.

Fracciones continuas y ecuaciones cuadráticas

De la ecuación de segundo grado x² + ax = b, se deduce la expresión recursiva

Es decir, que la solución natural de una ecuación cuadrática es una fracción continua. Por ejemplo, en el caso a = b = 1, tenemos la ecuación x² + x = 1, y la fracción continua representada por la expression recursiva

representa a φ = 1/Φ = 0,6180339... (inverso de la proporción áurea). La proporción áurea Φ es Φ = 1 + φ = 1,6180339...

Los cocientes parciales de una fracción continua se repiten si y solo si representan a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación de segundo grado con cocientes enteros. Por ejemplo, (1, 1, 1, ...) representa a la proporción áurea y (1, 2, 2, 2, ...) a √2.

Ventajas de la utilización de fracciones continuas frente a los decimales

Para los números racionales evitan las infinitas cifras decimales.
Revelan la estructura interna de los números reales.
Constituyen una descomposición natural de un número real de forma bidimensional en elementos más simples, frente a la notación lineal de los decimales.
Permiten determinar la irracionalidad de un número. Si su desarrollo como fracción continua es infinito, entonces el número es irracional.
Permiten detectar patrones en los números irracionales, que no aparecen la representación lineal decimal. Por ejemplo, en la fracción continua simple del número e se puede apreciar un patrón. Y en la fracción continua generalizada de  se puede apreciar un patrón sorprendente.
Ocupan menos memoria (la expresión es más compacta) y requieren menor tiempo de cálculo.
Permite aproximar de manera más simple y compacta a los números reales. Por ejemplo, si consideramos la representación decimal de π = 3.14159 = 314159/100000, esta fracción es menos precisa que considerando solo los 4 primeros cocientes parciales (3, 7, 15, 1):
Revelan la analogía de las estructuras internas de números inversos. Por ejemplo, 179/42 y 42/179 solo se diferencian en que 42/179 está representado por una secuencia con un cero adicional y como fracción continua está representada por solo 6 dígitos: (0, 4, 3, 1, 4, 2). En cambio, la representación decimal de 42/179 es muy compleja: tiene un periodo de 178 cifras decimales.
En general, un número real se puede representar mediante diferentes fracciones continuas. Esto es especialmente cierto en las raíces cuadradas. Por ejemplo,

√3 = 1 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + ...)))) = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ...))))))

Algoritmos

Un algoritmo (no recursivo) que calcula los cocientes enteros de una fracción n1/n2 es el siguiente:

⟨( cocientes(n1 n2) = ( (s = ()) // secuencia resultado a devolver (inicialmente, vacía) (m1° = n1) // numerador inicial (m2° = n2) // denominador inicial ( (mc° = m1÷m2) // cociente (s° = (s↓ mc) // incluir cociente en el resultado (mr° = m1 − m2*mc) // resto (mr = 0) → ¡s // si el resto es cero, devolver resultado (m1° = m2) // nuevo numerador (m2° = mr) // nuevo denominador )☆ )! )⟩

Ejemplo: cocientes(179 42) // ev. (4 3 1 4 2)
Algoritmo inverso: dados los cocientes enteros de una fracción continua, finita (secuencia finita de números naturales), calcular los dos componentes (n1, n2) del número racional equivalente.

Para su desarrollo, es necesario:
- Empezar por el último cociente como valor inicial de la fracción.
- Calcular el nuevo valor de la fracción, que es la suma del cociente anterior más el inverso del valor en curso.
Por ejemplo, para la fracción 179/42, cuya secuencia es (4, 3, 1, 4, 2):

Cociente Valor
2 v=2
4 v = 4 +1/v = 4 + 1/2 = 9/2
1 v = 1 + 1/v = 1 + 2/9 = 11/9
3 v = 3 + 1/v = 3 + 9/11 = 42/11
4 v = 4 + 1/v = 4 + 11/42 = 179/42

⟨( fraccion(cocientes) = ( (i° = cocientes#) // numero de cocientes (nc° = cocientes\i) // cociente inicial (nr1° = nc) // numerador inicial del resultado (nr2° = 1) // denominador inicial del resultado ( (i° = i-1) // apuntar al cociente anterior (i=0 → ¡(nr1 nr2)) // si fin de cocientes, devolver resultado (n1° = nr1) // nuevo denominador (n2° = nr2) (nc° = cocientes\i) // nuevo cociente (nr1° = nc + n1) // nuevo numerador del resultado (nr2 = n2) // nuevo denominador del resultado )★ )! )⟩

Ejemplo: fraccion(4 3 1 5 11) // ev. (179 42)

Adenda
El algoritmo de Euclides del m.c.d. (máximo común divisor) de dos números

Se divide el número mayor entre el número menor.
Si la división es exacta, el m.c.d. es el menor.
Si la división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto.
Se continúa de esta forma (divisor entre resto) hasta que se obtenga una división exacta. El último divisor es el m.c.d. Si el m.c.d. es 1, los números son primos entre sí (no tienen ningún factor común distinto de la unidad).

Por ejemplo, m.c.d. de 114 y 421:

Un poco de historia

La historia de las fracciones continuas comienza con el algoritmo de Euclides para calcular el m.c.d. de dos números naturales, en donde se realizan las mismas operaciones que en una fracción continua.

La primera constancia escrita procede del tratado de álgebra de Bombelli (1572). Bombelli encontró un procedimiento para aproximar las raíces de ecuaciones cuadráticas mediante fracciones continuas. 24 años después, el italiano Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) expresó raíces cuadradas mediante fracciones continuas y presentó la primera notación formal para las fracciones continuas generalizadas.

John Wallis (1616-1703) introdujo el término “fracción continua” (continued fraction).

El inglés William Brounker (1620-1684) desarrolló el método de la fracción continua para π.

Euler demostró que toda ecuación cuadrática irracional se puede representar por una fracción continua simple periódica. Lagrange demostró lo contrario: cualquier fracción continua periódica representa una solución de una ecuación cuadrática.

Bibliografía

Angelina, Lemmens. Continued Fractions. Lambert Academic Publishing (LAP), 2015.
Hensley, Doug. Continued Fracions. World Scientific Publishing, 2006.
Khinchin, A. Ya. Continued Fractions. Dover Book son Mathematics, 1997.
Korkina, E.I. The simplest 2-dimensional continued fraction. J. Math. Sci., 82 (5), 1996, pp. 3680-3685.
Lamb, Evelyn. Roots of Unity. What’s so Great about Continued Fractions? Scientific American, March, 12015.
Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter. Continued Fractions. World Scientific Press, 1992.

Cociente	Valor
2	v=2
4	v = 4 +1/v = 4 + 1/2 = 9/2
1	v = 1 + 1/v = 1 + 2/9 = 11/9
3	v = 3 + 1/v = 3 + 9/11 = 42/11
4	v = 4 + 1/v = 4 + 11/42 = 179/42